4.5.1.3 熱重分析法

熱重分析法(TG，TG/MS)是在程序控溫下，測量物質(zhì)的質(zhì)量隨溫度（或時間）的變化關(guān)系，用來研究材料的熱穩(wěn)定性和組分。檢測質(zhì)量最常用的辦法就是天平。熱重分析儀如圖4-47所示。May等人描述了在稱量過程中，如何區(qū)分質(zhì)譜儀的讀數(shù)是解吸出來的水的還是揮發(fā)性物質(zhì)的，揮發(fā)性物質(zhì)有可能來自殘余溶劑或部分產(chǎn)品的分解。

當(dāng)前鹵素快速水分測定儀是一種新型快速的水分檢測儀器，其原理就是利用熱重分析法。

May等人用TG，TG/MS，KF法和一種命名為“蒸氣壓濕度測量法”(VPM)的新型測量方法研究了α-干擾素和美國標(biāo)準(zhǔn)百日咳疫苗的殘余水分(RM)。VPM測量密閉小瓶中物料上面的空間中水的蒸氣壓。來自紅外二極管的光線穿過小瓶到達圖像探測器。小瓶的溫度從室溫以固定的速率冷卻到一55℃。當(dāng)水蒸氣冷凝的時候，由于凝結(jié)物使光束變暗，從而改變圖像探測器的信號。凝結(jié)溫度可轉(zhuǎn)化為壓力，從而可計算出頂部空間中水的微觀圖。圖4-48表示α-干擾素的TG值。抽取的三種不同樣品中，發(fā)現(xiàn)RM的平均值為1.15%土0.15%。利用KF法發(fā)現(xiàn)一種樣品中的RM為1.28%。圖4-49表示百日咳疫苗樣品9的相應(yīng)數(shù)據(jù)。水的最終解吸溫度和開始分解的溫度由重量隨時間變化的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)曲線確定(%/mi)；當(dāng)導(dǎo)數(shù)曲線偏離水平線時可認為水的解吸結(jié)束。在表4-1總結(jié)了不同方法我得的結(jié)果，VMP不能提供關(guān)于產(chǎn)品RM的值息。該方法可重復(fù)測量同樣的小瓶在一段時間內(nèi)產(chǎn)品上空的水分，從而確定水分的變化量。

4.5.1.4 紅外光譜學(xué)

Lin和Hsu描述了用近紅外線(NIR)光譜學(xué)確定密封的玻璃瓶中蛋白質(zhì)類藥品的殘余水分的方法。研究了五種蛋白質(zhì)：人類單克隆抗體重組細胞(ruhMAb)E25、ru- hMAb HER2、rubMAb CDI1a、TNKase和rt-PA，在小瓶壁的水平位置上加入適量的MilliQ水可使殘余水分的量增加，使水蒸氣擴散到已干產(chǎn)品。一般情況下，1～2天后可達到平衡狀態(tài)。利用常用的三種數(shù)學(xué)工具來確定復(fù)雜光譜（不同成分的重合部分或它們之間的化學(xué)反應(yīng))。研究了下列因素對IR標(biāo)準(zhǔn)的影響結(jié)果：賦形劑的濃縮，塊狀產(chǎn)品的疏松度，厚度和直徑以及賦形劑和蛋白質(zhì)的比率，Karl Fischer滴定數(shù)（也叫RF)被用來作為與NIR數(shù)相比較的標(biāo)準(zhǔn)。

圖4-50中(a)～(e)表示5種產(chǎn)品RF和RNIF之間的關(guān)系。Karl Fischer滴定法依每日的操作者的不同其波動范圍為士0.5%。因此，RF和RNIR之間的差別≤0.5%認為是較好的。在30～100mg/mL之間疏松度的變化≤0.5%。塊狀物的尺寸必須超過NIR的透深，否則測得的RNIR太小。

制劑成分允許有小的變化，然而變化較大時，例如，蔗糖由42.5mmo/L變?yōu)?70mmol//L，隨著濃度的增加吸收率增加（圖4-51）。因此對85mmol/L的RNIR的標(biāo)準(zhǔn)不能用于蔗糖的濃度較低(42.5mmo/L)或較高(>120mm0l/L)的情況；在520cm-1時水的信號隨著產(chǎn)品信號的改變而變化。通常情況下，對于給定的制劑和產(chǎn)品尺寸RNIR標(biāo)準(zhǔn)是一定的，只有在NIR測量對于充足的被反射光線具有足夠長的光程以及校準(zhǔn)產(chǎn)品的光譜隨組分濃度的改變沒有被改變的情況下，變化才是允許的。

4.5.1.5 殘余水分測量方法的比較

干燥產(chǎn)品中的水以多種形式結(jié)合：如存在于表面的水，或多或少與干物質(zhì)結(jié)合的水或以結(jié)晶水的形式存在著的水。因此，對于不同的物質(zhì)，各種方法有可能會產(chǎn)生不同的結(jié)果。利用重量分析法和Karl Fischer滴定法測得的有些物質(zhì)的RM值幾乎是沒什么不同的。May等人提供了四種這類物質(zhì)的例子，但是如表4-2所示，利用重量分析法得到的RM值比Karl Fischer滴定法得到的小0.3%～0.6%，然而，用熱重分析方法得到的RM值在誤差范圍內(nèi)與Karl Fischer滴定法得到的值是非常接近的。在圖4-52中比較了在第二階段干燥過程，利用KF測得的RM和利用DR值計算得到的dW值。用于KF測量的小瓶當(dāng)時是封閉的，上面的圖表示出了平均值以及誤差條。同樣的藥品在同一臺設(shè)備上，在相同的工藝條件和相同的裝載量的情況下進行了三次試驗過程。利用KF測得的RM值在MD轉(zhuǎn)變?yōu)镾D后以士1%改變，約21h后減少為土0.5%。三次試驗過程dW值都在SD階段開始后以士0.5%改變，在21h后小于0.05%。上下曲線表明，到達最終溫度后，進一步的干燥不可能再降低RM的值0.5%。根據(jù)dW也可得到相同的信息：在21h后水的解吸可忽略，由于其小于0.02%/h。此產(chǎn)品在所選的工藝條件下，用KF法測得1.5%的水分在此溫度下及可接受的時間內(nèi)不能用解吸法除去。

4.6 凍干產(chǎn)品的貯藏與復(fù)水

4.6.1 真空或充氣包裝

已干燥產(chǎn)品是一種疏松的多孔物質(zhì)，有很大的內(nèi)表面積。如果暴露于空氣之中，就會吸收空氣中的水分而潮解，增加產(chǎn)品的殘余水分含量。其次，空氣中的氧、二氧化碳與產(chǎn)品接觸，一些活性基團就會很快與氧結(jié)合產(chǎn)生不可逆的氧化作用。此外，空氣中如含有雜菌，還會污染產(chǎn)品。因此，在產(chǎn)品干燥后，能直接在真空箱內(nèi)密封，使之不與外界空氣接觸?，F(xiàn)在比較先進的凍干機都具有這種功能。因此，凍干產(chǎn)品的貯藏應(yīng)該從第二階段干燥結(jié)束以后開始。

由解吸等溫線可知，在平衡條件下，產(chǎn)品中吸附水分的量在給定溫度下是水蒸氣壓力的函數(shù)，如圖4-53所示。在給定溫度下，在很短的時間內(nèi)可近似認為是平衡狀態(tài)，在第二階段的工作壓力應(yīng)該小于平衡蒸氣壓，例如，當(dāng)溫度為+40℃，預(yù)期殘余水分小于1%時，pch應(yīng)該為幾帕。如果產(chǎn)品（血漿）的溫度只有+20℃，則工作壓力應(yīng)該比1Pa還小。通常情況，延長干燥時間不能降低殘余含水量——只有升高溫度才能降低殘余含水量。要想得到較低的含水量，吸濕性的產(chǎn)品應(yīng)防止在干燥室中再次吸入已被干燥除去的水分。如果使用小瓶，應(yīng)在干燥室中密封。如果是散裝的物料或食品，干燥后應(yīng)該往干燥室中充入干燥空氣或惰性氣體。在+20℃，相對濕度為70%時，空氣中的水分約為1.3×10-2gH20/L。往體積為200L的干燥室充入該氣體時，將引入2.6g的水蒸氣。如果干燥室中有300個小瓶，每個小瓶裝有固體含量為10%的1cm3的物料，則殘余含水量將增加約9%。如果固體含量只有1%，則殘余含水量增加到90%。充入氣體的露點應(yīng)該與第二階段的最終壓力相對應(yīng)，例如，最終壓力為2Pa,氣體的露點應(yīng)為-55℃，最小應(yīng)為-50℃。

因此，凍干產(chǎn)品應(yīng)在二次干燥結(jié)束后采用真空或充氮氣包裝，包裝材料的滲透性差，貯藏運輸過程應(yīng)避光。

4.6.2 凍干產(chǎn)品的復(fù)水

理論上，凍干制品復(fù)水后能恢復(fù)原有的性質(zhì)和形狀。實際上要讓凍干后的產(chǎn)品完全恢復(fù)原有的特性，不僅受冷凍干燥過程影響，復(fù)水條件也是很重要的，比如復(fù)水液，復(fù)水速率，復(fù)水溫度，復(fù)水率等都會影響復(fù)水后制品的特性。如人紅細胞、角膜等在凍干過程中，大部分水分都被除去，要恢復(fù)其基本生理功能，必須進行復(fù)水，為細胞創(chuàng)造一個與體內(nèi)細胞生存環(huán)境基本相符的條件。牛肉，方便米飯，牡蠣、海參等凍干的食品在食用的時候應(yīng)復(fù)水恢復(fù)其原有的形狀，色澤及口感等?？Х取⑶嗝顾氐人幤吩谑褂玫臅r候應(yīng)能速溶。不同的物料復(fù)水條件和過程都不一樣，通常用實驗的方法確定。

4.5.2 凍干產(chǎn)品的質(zhì)量及其變化

假設(shè)凍干本身是在最優(yōu)條件下進行的，而且在凍干過程結(jié)束時產(chǎn)品達到了預(yù)期的質(zhì)量，凍干產(chǎn)品在存儲過程，其質(zhì)量變化至少受三個因素的影響：殘余水分，存儲溫度及混合在包裝袋里的氣體。與其中一種因素有關(guān)的或在更多情況下與三種因素都有關(guān)的變化可分成以下四種情況：

①在與水分子的重組過程發(fā)生的變化和/或溶解性；

②干燥產(chǎn)品的化學(xué)反應(yīng)；

③產(chǎn)品生物-醫(yī)學(xué)活性的惡化；

④產(chǎn)品物理結(jié)構(gòu)的變化，例如：由非晶形轉(zhuǎn)變?yōu)椴糠只蛉烤w結(jié)構(gòu)的形式。

通常發(fā)生的變化可由這幾種變化中的某幾種解釋。下面給出了幾個典型例子。

Liu和Langer證明BSA，卵清蛋白、葡萄糖、氧化酶和β—乳球蛋白在37℃時溶解性迅速減小，并且如果在已干產(chǎn)品中加入了30%（質(zhì)量分?jǐn)?shù)）生理鹽水緩沖液，則在24h內(nèi)97%的產(chǎn)品將變?yōu)榉侨芙庑缘摹Ｓ捎谒侄鸬木奂瘹w因于分子間的S一S鍵。對于給定的白蛋白，如果RM為最優(yōu)值則可減少聚集。

Zhang等人研究了在keratonocyte增長因子(KGF)重組過程重組介質(zhì)對形成聚集的影響。若干添加劑可使聚集明顯地減小，調(diào)節(jié)重組介質(zhì)離子的強度發(fā)現(xiàn)也有類似的作用。優(yōu)化重組條件可增加蛋白質(zhì)可溶性的恢復(fù)；對于KGF，蛋白質(zhì)溶解性的恢復(fù)與本身的、單節(jié)顯性的組成有關(guān)。此外，Zhang等人還發(fā)現(xiàn)當(dāng)用純水重組時，白細胞素-2(Ⅰ)和核糖核酸酶（Ⅱ）在+45℃的溫度下存儲時聚集相當(dāng)大。如果在重組水中加入肝磷脂或磷酸鹽可明顯減少聚集的長度。Shalaev等人研究了在RM<0.1%時，非晶形蔗糖對葡萄糖和果糖酸性催化轉(zhuǎn)化作用。即使RH=0.1%，在50℃凍干蔗糖時，例如帶有檸檬酸，也得經(jīng)受酸催化轉(zhuǎn)化，作者得出的結(jié)論是凍干帶有蔗糖的酸性物質(zhì)即使是RM很低也會產(chǎn)生能夠進一步和其他成分起反應(yīng)的物質(zhì)。

Yoshika等人利用ONMR光錯學(xué)研究了在存儲過程中β-牛乳糖間的反應(yīng)和水的遷移率有關(guān)。水分的增加也使自旋-晶格弛緩時間T?增加，相互之間的反應(yīng)與T?的關(guān)系比pH值的關(guān)系還要緊密。設(shè)想可能是水的增加使酶周圍的水的遷移增加，從而使酶的反應(yīng)增加。帶有少量水的凍干樣品，也表現(xiàn)出比根據(jù)pH值和水的遷移率估計的還要快的反應(yīng)速度，這可能是由凍干時所用的添加劑鹽引起的。Yoshika等人也使用了NMR光譜學(xué)，但用的是1H自旋-自旋獨緩時間T?。測得BSA和γ-血球素的T?是隨水合程度而變化的。凍干的BSA和BGG如果水分超過大約0.2%(g/g)蛋白質(zhì)，則對聚集變得敏感。蛋白質(zhì)質(zhì)子的T?在水分較低時就開始增加，且隨水分的增加聚集也緊跟著增加。對于凍干的BGG，在水分>0.5g/g蛋白質(zhì)時蛋白質(zhì)質(zhì)子的聚集和T?都將減小。

Vromans和Schalks利用非晶形維庫溴銨研究了水敏性藥品的穩(wěn)定性。在制劑中其分解主要取決于水的活度αW，而不是水分的多少。賦形劑的玻璃化不僅有低溫保護作用，而且起穩(wěn)定作用。Cleland等人發(fā)現(xiàn)當(dāng)蔗糖和蛋白質(zhì)具有適當(dāng)?shù)姆肿颖嚷蕰r，在40℃可穩(wěn)定保存人類單克隆抗體重組細胞(ruhMAb HER2)33個月。360：1的摩爾比率可成功地穩(wěn)定蛋白質(zhì)。這比通常的制劑中所用的等滲濃度低3～4倍。Souillac等人比較了凍干和物理混合的h-Dnase、rh-GH和rH-IGF-1和甘露醇、蔗糖、海藻糖和右旋糖苷的焓。對物理混合物，發(fā)現(xiàn)焓與蛋白質(zhì)的百分含量呈線性關(guān)系；對凍干的混合物此關(guān)系是非線性的。作者得出的結(jié)論是在凍干的混合物中蛋白質(zhì)和碳水混合物之間會直接發(fā)生反應(yīng)。

Hsu等人發(fā)現(xiàn)已包裝的產(chǎn)品也有可能發(fā)生分解。設(shè)想凍干結(jié)束時只具有單分子層的水，且不是均勻分布的，但是在有些位置分子可能連成串。在干燥和存儲過程這些水提供的保護以防止變性。這點是由基因技術(shù)產(chǎn)生的兩種產(chǎn)品證明的：太少的水，比單分子層還少，造成tPA和高鐵血紅蛋白在物理上的不穩(wěn)定，然而較高含量的水卻導(dǎo)致存儲過程生物上的不穩(wěn)定。

To和Flink以及van Scoik和Carstensen闡述了四種變化的例子：依To和FIink的觀點，非晶形到晶體的轉(zhuǎn)變或者是因為存儲溫度T(T>TC)太高，或者是因為吸收了水。（注：較多的水增加了非晶形固體的流動性，促進了晶體的成核和增長）。

Van Scoik和Carstensen交流了他們關(guān)于蔗糖晶體成核和增長的經(jīng)驗。討論了溫度和殘余水分這兩個成核參數(shù)，建議用添加劑可停止、延緩或加速成核。用來清洗裝有小瓶的干燥室的氣體和加入產(chǎn)品的包裝袋里的氣體的影響尚且不清楚。只是氧氣在多數(shù)情況下被排除。Spiess建議用干空氣存儲花椰菜和藍莓，然而胡蘿卜和辣椒粉應(yīng)該存儲在氧氣含量<0.1mgO?/g干物質(zhì)的氣體中。對于藥品，病毒或細菌，無法給出普遍的建議，由于CPA、添加劑的結(jié)構(gòu)、緩沖劑的影響都應(yīng)考慮。

所有氣體的純度也應(yīng)該做詳細說明，由于一定量的雜質(zhì)對存儲特性有可能起決定性的作用，例如從瓶塞中解吸出的氣體。Greiff和Rightsel證明流行性感冒病毒在沒有CPA的情況下當(dāng)RM為1.6%時在氨中的傳染性保持得非常好。如果使用通常的存儲溫度，在氬中，傳染性減小大約10倍，在氧氣中減小20多倍。Corveleyn和Remon凍干了兩種不同的包含25mg二氫氯噻的藥片制劑。藥品用PVC/鋁塑包裝、聚偏二氯乙烯(PVDC)/鋁塑包裝、帶干燥劑的密閉容器和非密閉容器在60℃以三種RH，45、60和85%存儲。一個月后，除了包裝在PVDC/鋁塑包裝中的藥片以外，其余藥RM都由2.7%增加到6.8%。水分為7.2%的制劑崩塌。PVDC/鋁塑包裝中藥片的水分的增加或減少非常慢。用于包裝凍干藥片的材料沒有一種能阻止水分的吸收和結(jié)構(gòu)的崩塌。

4.1共晶點和熔融點溫度的測量

溶液的導(dǎo)電是靠帶電離子在溶液中定向移動來進行的。在溶液凍結(jié)過程中，離子的漂移率隨溫度的下降而逐漸降低，使電阻增大。只要還有液體存在，電流就可流動。但一旦全部凍結(jié)成固體，帶電離子不能移動，電阻就會突然增大。根據(jù)電阻由小突然變大這一現(xiàn)象，就可測出溶液的共晶點。反之，當(dāng)凍結(jié)物料的溫度升高時，物料的電阻值會突然減小，這一過程可用于測定物料的熔融點溫度。

4.1.1 簡易自制測量裝置

東北大學(xué)自制的共晶點和熔融點測試裝置如圖4-1所示。物料的制冷和加熱在凍干機擱板上進行。不銹鋼電極直徑為2.5mm，長度為20mm。兩電極間的距離為15mm，插入物料的深度l0mm，電極間需要夾緊裝置，以避免電極與物料接觸不良。測溫?zé)犭娕嫉臏y量端位于兩電極的中間部位。電極和熱電偶裝配后，將物料置于冷凍干燥機內(nèi)的擱板上，降低擱板溫度，凍結(jié)物料，測量物料的電阻與溫度間的變化關(guān)系，用相應(yīng)軟件如Origin處理測得的數(shù)據(jù)，求出其一階導(dǎo)數(shù)曲線，可找出電阻突變點，從而確定物料共晶點溫度。升高擱板溫度，測量物料升溫過程電阻和溫度的變化關(guān)系，用相應(yīng)軟件如Origin處理測得的數(shù)據(jù)，求出其一階導(dǎo)數(shù)曲線，找出電阻突變點，確定物料的熔融點溫度。

用上述自制測量裝置測得降溫過程中螺旋藻電阻R隨溫度T的變化如圖4-2所示，為使電阻突變的點顯得更明顯，對圖4-2求一階導(dǎo)數(shù)，得圖4-3，由圖4-3可知，在-18℃左右電阻的變化最快，由此可知螺旋藻的共晶點溫度在-18℃左右。

升溫過程中螺旋藻的電阻R隨溫度T的變化如圖4-4所示，圖44一階導(dǎo)數(shù)曲線如圖4-5。由圖4-5可知，在-19~-7℃左右電阻的變化最快，由此可知螺旋藻的熔融點溫度在-19℃左右。

降溫過程納豆激酶溶液的電阻R與溫度T之間的關(guān)系如圖4-6所示，圖4-6的一階導(dǎo)數(shù)曲線如圖4-7所示，分析圖4-6和圖4-7可知納豆激酶溶液的共晶點溫度在-23℃左右。

升溫過程中納豆激酶的電阻R隨溫度T的變化如圖4-8所示，圖4一8一階導(dǎo)數(shù)曲線如圖4-9所示，由圖4-9可知，在-23~-15℃左右電阻的變化較大，由此可知納豆激酶溶液的熔融點溫度在-23℃左右。

降溫過程鮮海參肉的電阻R與溫度T之間的關(guān)系如圖4-10所示，圖4-10的一階導(dǎo)數(shù)曲線如圖4-11所示，由圖4-11可知鮮海參肉在-30℃以后電阻增加非?？?，分析圖4-11，在-35℃以后，電阻值增量非常大，由此可知，鮮海參肉的共晶點在-35℃左右。

4.1.2一種典型液態(tài)物料共晶點測試儀

由四環(huán)福瑞科儀科技發(fā)展（北京）有限公司生產(chǎn)的液態(tài)物料的共晶點測試儀如圖4-12所示，圖4-13是共晶點測試儀測量探頭工作示意圖。

如圖4-12和圖4-13所示，該共晶點測試儀主要由以下幾個部分構(gòu)成。

1、開關(guān)  開關(guān)打到“開”位置，即開始正常工作，隨著物料的冷凍或升溫測試儀自動測量判斷共晶點或熔融點；打到“關(guān)”位置，系統(tǒng)斷電，設(shè)備停止運行。

2、LCD顯示屏  LCD顯示屏實時顯示物料的當(dāng)前溫度以及共晶點和熔融點，其第一行顯示的Tnow為溫度探頭測量得到的當(dāng)前溫度，第二行顯示的為測量得到的共晶點和熔融點，其中Tj為共晶點，Tr為熔融點。

3、測量探頭及支座  共晶點測試儀的溫度探頭采用加長的P1000溫度探頭，阻抗探頭采用特殊定制的不銹鋼探針。為了實現(xiàn)探頭的固定以及確保其相對位置，探頭支座采用聚四氟乙烯材料加工裝配而成，探頭測量高度可通過高度調(diào)節(jié)旋鈕進行調(diào)節(jié)，以適應(yīng)不同高度的西林瓶和物料液面。

4、探頭接口  用于測量探頭與測試儀主體連接，開始測量前，須確保探頭插頭與測試儀主體可靠對接。

其使用操作步驟為：

1、將待測試的物料裝入西林瓶中，調(diào)節(jié)支架高度，使共晶點測試儀的探頭能浸入物料液面下，再鎖緊調(diào)節(jié)螺釘。

2、將測試儀探頭、支架以及裝有物料的西林瓶放入凍干機內(nèi)，關(guān)閉凍干機門。

3、將共晶點測試儀的電源插頭插入220V交流電源插座中。

4、打開電源開關(guān)，共晶點測試儀即自動進入共晶點、共熔點測定程序。此時開啟凍干機進行相應(yīng)冷凍與加熱操作即可。

此共晶點測試儀的主要特點是，智能化自動判斷物料共晶點和共熔點，采用兩行式液晶顯示屏，直接顯示物料的共晶點和熔融點，能實時顯示當(dāng)前物料溫度，儀器性能穩(wěn)定、可靠，操作簡單。

4.2凍干過程的分析與觀察

4.2.1 低溫顯微鏡

Hsu等將重組CD4-IgG(CD4-免疫球蛋白G)用四級串聯(lián)的帕耳帖組件冷卻至-60℃，用一架低溫顯微鏡觀察到了它的再結(jié)晶過程。他的觀察室也可以被抽成真空而用于冷凍干燥研究。

Willemer將多次由低溫顯微鏡獲得的照片與電阻測量的結(jié)果進行了比較，低溫顯微鏡的結(jié)構(gòu)如圖4-14所示。復(fù)雜產(chǎn)品的電阻測量有時很難解釋清楚。圖4-15所示的是某種病毒的低溫保護溶液的電阻-溫度曲線。冷卻到-10℃，部分溶液凍結(jié)，然后過冷到約-46℃，在-65℃左右時溶液結(jié)晶。在溶液復(fù)溫過程中，在-32.5℃左右時，電阻值變化迅速。用低溫顯微鏡獲得的照片顯示出，在-40℃時，已被干燥和冷凍的兩部分都呈現(xiàn)出均勻的組織結(jié)構(gòu)（如圖4-16）。而在-30℃時，這兩部分都呈現(xiàn)出了黑色和灰色混合的區(qū)域，這表明，一些冰已經(jīng)融化，并且擴散到了已干燥的部分。在這種情況下，通過改變CPA的濃度以及選擇一個最佳的冷卻速度，電阻測量可以認為是一種比較迅速的研究不同CPA的影響的方法。最終選擇的濃度和冷卻速度的組合可以用低溫顯微鏡來測試。圖4-17所示的是在冷凍、熱處理過程中以及在干燥前，一種藥品在低溫顯微鏡下的結(jié)構(gòu)變化。圖4-17~圖4-19所示的是來自同一實驗中，同一樣品的不同部分以及在不同的實驗階段的細節(jié)照片。

圖4-17中，(a)是快速冷卻過程中，約在-24℃時樣品的照片，(b)是第一次從-54℃加熱到約-36℃的照片，(c)是再次被冷卻到-54℃時的照片。在圖(a)中，大部分晶體（顏色較深處）均勻地分布在濃縮的非晶固體（顏色較亮處）中間。在圖(b)中，晶體有所生長，濃縮物中的水分也已經(jīng)結(jié)晶。在圖（c）中，晶體與玻璃狀雜質(zhì)的邊界清晰可見，特別是在圖中右上角更明顯。圖4-18所示的是在一些具有可比性的溫度下，樣品另外的一個部分，即靠近樣品邊界的顯微照片：(a)約在-23℃，(b)第一次加熱時，約在-30℃，(c)再次冷卻到-60℃。圖(b)中，晶體已有所生長，但其大致結(jié)構(gòu)沒有太大的變化，特別是在圖的左上角部分。在圖(c)中，晶體與玻璃狀物質(zhì)的邊界更加清晰。圖4-18所示的是樣品的第三部分：(a)冷卻到一65℃之后的照片，(b)熱處理后，再次冷卻到-60℃，然后在-40℃開始凍干。同樣，熱處理并未使整體結(jié)構(gòu)有所改變，但是晶體結(jié)構(gòu)更加清晰，這表明玻璃相和晶體之間的水分子已經(jīng)遷移到晶體中。圖4-17~圖4-19中的照片說明，快速冷卻不能使整個樣品的各個部分形成均勻的組織結(jié)構(gòu)，因為它會受到邊界效應(yīng)的影響。但是，在樣品的所有部分都觀察到了熱處理的影響。圖4-20所示的是，從冷卻結(jié)束溫度（-60℃)上升到開始干燥溫度（-42℃）時，不經(jīng)熱處理對晶體生長的影響。值得注意的是，在自動向低溫擱板上裝載產(chǎn)品時出現(xiàn)的現(xiàn)象。第一次裝載藥瓶中的產(chǎn)品與后來裝載的，例如2~3h后裝載的，產(chǎn)品有不同的結(jié)構(gòu)。

低溫顯微鏡研究的優(yōu)點是有可以顯示樣品組織結(jié)構(gòu)變化過程的照片，而且，凍結(jié)的產(chǎn)品可以在大多數(shù)的設(shè)備中被冷凍干燥。產(chǎn)品層很薄，因此可以被迅速冷凍。所以，產(chǎn)品在復(fù)溫和干燥過程中所表現(xiàn)出的性狀特征與快速冷凍過程的相一致。因為產(chǎn)品層很薄，故模擬熱處理的過程很困難。然而，實驗表明，從此項研究中獲得的臨界溫度是有價值的，特別是獲得冷凍速率相對緩慢時產(chǎn)品的電阻值。

Nunnerf使用一臺特殊的低溫顯微鏡拍攝到了0.9%的NaCl溶液在360s內(nèi)直接冷凍到穩(wěn)定樹枝狀冰晶結(jié)構(gòu)的過程中冰晶邊界面變化的照片（如圖421）。在冰晶的表面可見因濃縮而集中起來的NaCI(黑色邊界)。

Cosman等人描述了一臺可以定量評價照片的低溫顯微鏡，該裝置有如下四個顯著特點：

①溫度的產(chǎn)生、測量和控制是由程序控制的;

②顯微照片可以存檔，以備后用；

③文檔可部分地用于自動圖像識別;

④如果冷凍過程可以用數(shù)學(xué)的方法描述，而且細胞的行為可以預(yù)測，則用上述方法可以減少數(shù)據(jù)量。

圖4-22表示的低溫顯微鏡系統(tǒng)的布置圖。通過使用熱傳導(dǎo)性非常優(yōu)良的藍寶石觀察窗和使用液氮冷卻系統(tǒng)，作者實現(xiàn)了以每分鐘幾百度的冷卻速率冷卻到一60℃，而且在溫度為0℃時，樣品內(nèi)的溫度梯度達到了0.1℃/mm。

下面用三個例子來說明使用這種顯微鏡系統(tǒng)如何進行冷凍過程的定量研究和存檔。圖4-23表示的是被分離的老鼠胰島細胞的體積與溫度的函數(shù)關(guān)系曲線。如圖4-24所示，細胞膜對水和CPA的滲透性的不同對細胞的冷凍是非常重要的。

將獼猴卵母細胞置入體積分?jǐn)?shù)10%的二甲基亞砜溶液(DMSO)后其體積幾乎減少到原來的三分之一，這是因為水能從細胞里擴散到周圍環(huán)境中去，而二甲基亞砜卻不能擴散到細胞內(nèi)（測量溫度為23℃）。

細胞損壞的原因在于細胞內(nèi)冰晶成核。圖4-25表示在不同冷卻速率下，有多少老鼠卵母細胞內(nèi)發(fā)現(xiàn)胞內(nèi)冰與溫度之間的函數(shù)關(guān)系曲線。老鼠肝細胞在以大約40℃/min的速率冷卻到-21℃的過程中沒有發(fā)現(xiàn)胞內(nèi)冰，然而，當(dāng)以140℃/min速率冷卻時幾乎所有的細胞內(nèi)都存在冰，這是因為水沒有足夠的時間擴散到周圍環(huán)境就被凍結(jié)在細胞內(nèi)。圖4-25也說明細胞內(nèi)冰晶成核是由絕對溫度和冷卻速率決定的：在大約-25℃，以5℃/min速率冷卻幾乎所有的細胞內(nèi)都有冰，然而，以3.5℃/min速率冷卻，大約20%的細胞內(nèi)沒有冰。

Dawson和Hockley利用掃描電子顯微鏡(SEM)表明了海藻糖和甘露醇溶液的快速冷凍(150℃/min)和慢速冷凍(1℃/min)時結(jié)構(gòu)上的差異。圖4-26表示1%海藻糖溶液被(a)慢速和(b)快速冷凍時中心部位的表面結(jié)構(gòu)。慢速冷凍樣品（c）濃縮的固體表面上產(chǎn)生裂縫，然而，快速冷凍的樣品的結(jié)構(gòu)卻是均勻的纖維狀。圖4-27表示慢速和快速冷凍1%乳糖時其中心部位粗糙的(a)和精細的(b)結(jié)構(gòu)。在圖4-28(a)中可發(fā)現(xiàn)海藻糖溶流崩塌的部分，圖（b)表示干燥后產(chǎn)品在潮濕的環(huán)境下貯存6個月以后的結(jié)構(gòu)，圖片表明不同的冷凍速率導(dǎo)致不同的結(jié)構(gòu)，且有可能使固體濃縮在表面上，在干操過程使干燥速率降低，殘余水分含量增加。

4.2.4 熱力學(xué)分析

Carrington等人利用熱力學(xué)分析(TMA)研究了30%質(zhì)量分?jǐn)?shù)果糖、蔗糖和葡萄糖在有和沒有羧甲基纖維素鈉(CMC)存在時冰的結(jié)晶溫度。TMA被用來測量冷凍和復(fù)溫過程樣品的膨脹，利用DSC也做了類似的研究。用TMA測得果糖在有和沒有CMC存在，以5℃/min的速率冷凍時的具有代表性的結(jié)果如圖4-39所示。圖4-40表示的是由TMA確定的30%蔗糖溶液慢速冷凍和熱處理后的加熱曲線。圖4-41表示的是由DSC確定的30%蔗糖溶液慢速冷凍和熱處理后的加熱曲線。比較由兩種方法測得的關(guān)于蔗糖的兩個溫度Tr1和Tr2(如圖4-40和圖4-41所示)，Tr1≈-60℃(TMA)和-41.2℃(DSC),Tr2≈-35℃(TMA)和-32.6℃(DSC),很明顯，正如作者所討論的那樣，有很多因素影響最后所得的數(shù)據(jù)。

TMA測量對解釋在加熱冷凍的甘露醇和其他立體異構(gòu)體溶液過程中，小玻璃瓶的破裂是很有用的。例如，甘露醇在-25℃以上體積比標(biāo)準(zhǔn)1型無色玻璃擴大30倍。小玻璃瓶是否破壞主要取決于填充物的體積及濃度，例如，當(dāng)裝滿3%的甘露醇時，10%-40%的玻璃瓶子被破壞。

4.2.5 介電分析

Pearson Smith通過三個例子解釋了介電分析（DEA）的優(yōu)點是可提供最優(yōu)的凍干工藝。結(jié)合水（兩個氫鍵）和吸附水（一個氫?。┑某谠ヌ匦圆煌捎脕泶_定凍干的結(jié)束，當(dāng)吸附水解吸和結(jié)合水仍然存在時認為凍干結(jié)束。物質(zhì)的介質(zhì)響應(yīng)與晶體的尺寸和水合程度有關(guān)。賦形劑的玻璃體形成特性和它的分子的流動性（黏性）與溫度和水合密切相關(guān)。電介質(zhì)的研究表明了糖溶液玻璃體形成的非阿倫尼烏斯(non-Arrhennius)行為，在溫度或水合有微小變化時，黏性的變化將達好幾個數(shù)量級。

Morris等人建議利用介電分析法可預(yù)測雙組分物質(zhì)的崩塌溫度。DEA的基本情況已解釋清楚了?！鞍l(fā)射顏率”(TOF)是確定崩塌溫度的分析方法。圖4-42表示介質(zhì)損耗因子與頻率之間的函數(shù)關(guān)系曲線。作者稱此曲線最低點的頻率為TOF。如圖4-43所示TOF隨著溫度的變化而變化。兩直線的交叉點可確定崩塌溫度。用TOF預(yù)測的10%的蔗糖、10%海藻糖、10%山梨糖醇以及11%的

Azactam TM溶液的崩塌溫度稍低于凍干顯微鏡觀察得的崩塌溫度，偏差分別為-3℃，-1.4℃，2.2℃和0.7℃。

Smith等人認為介電弛緩頻譜學(xué)提供了一種研究聚合物和蛋白質(zhì)結(jié)構(gòu)特性的方法，其中，還提供了含水量和水的狀態(tài)信息。

4.2.6 X射線衍射學(xué)-拉曼光譜學(xué)            

Cavatur和Suryanarayanant研制了一種低溫X射線粉末衍射(XRD)技術(shù)，用于研究凍結(jié)水溶液中溶質(zhì)的固體狀態(tài)。在凍結(jié)的乙氧萘青霉素鈉溶液（質(zhì)量分?jǐn)?shù)22%）中，未發(fā)現(xiàn)共晶結(jié)晶。在-4℃熱處理可引起溶液的結(jié)晶，且隨熱處理時間而增加，另外兩種產(chǎn)品的研究表明，XRD在不干涉其他事件的情況下，可提供結(jié)晶程度的信息。

Sane等人利用拉曼光譜學(xué)用數(shù)量表示了冷凍干燥和噴射干燥過程結(jié)構(gòu)的變化。單克隆抗體類（例如RhuMAbVEGF)在沒有低溫保護劑的情況下，經(jīng)歷二次結(jié)構(gòu)變化。增加低溫保護劑的摩爾比率可完全保護其結(jié)構(gòu)。利用拉曼光譜學(xué)觀察到干燥蛋白質(zhì)的長期穩(wěn)定性是與結(jié)構(gòu)變化相關(guān)的。

4.3 凍干過程中物料含水量的測量

(1)稱重法   這是一種古老的方法，也是直接測量法。在凍干箱內(nèi)設(shè)置稱重機構(gòu)，小凍干機內(nèi)可以設(shè)置天平，大型凍干機內(nèi)可以設(shè)置地秤或吊秤，實現(xiàn)邊抽真空邊觀察重量的變化。這種方法的優(yōu)點是簡單易學(xué)；缺點是不夠準(zhǔn)確。

(2)取樣法   在抽真空干燥過程中，通過設(shè)置在凍干機上的裝置，取出樣品，在大氣環(huán)境下測量產(chǎn)品的含水量這種方法比較麻煩，但是比較準(zhǔn)確。取出的樣品可以用直接稱重法，也可以用水分測量儀測量。圖4-44是一種常用的水分測量儀，稱為鹵素快速水分測定儀，它是一種新型快速的水分檢測儀器，其原理為利用熱重分析法。圖4-44為OHAUS MB45型鹵素水分測定儀，其測量精度可達0.001g/0.01%。

(3)在線測量法凍干過程水分在線測量是一種最準(zhǔn)確、快速、經(jīng)濟的測量方法，只可惜目前還沒有上市的產(chǎn)品。

4.4 凍干終點的判斷

凍干過程結(jié)束的判斷很重要，它涉及凍干產(chǎn)品的質(zhì)量、產(chǎn)量和經(jīng)濟效益。但是，到目前為止，還沒有科學(xué)的儀器和方法，現(xiàn)有的判斷方法還是經(jīng)驗法，不夠準(zhǔn)確。

（1）溫度判斷法   在凍干過程中通常都需要測量擱板溫度和物料溫度，并且繪出溫度曲線。當(dāng)測出的擱板溫度與物料溫度相接近時，即可以認為干燥過程接近結(jié)束。

（2）壓力判斷法   在凍干過程中應(yīng)該不斷的測量凍干箱內(nèi)的壓力（真空度），當(dāng)測得的壓力長時間穩(wěn)定不變（根據(jù)凍干產(chǎn)品的品種、數(shù)量不同，通常在1~2個小時即可），認為凍干過程可以結(jié)束。

（3）濕度判斷法   這是一種理論上可行，但實際操作比較困難的方法。這種方法需要在凍干箱內(nèi)裝上濕度計，測出凍干箱內(nèi)氣氛的濕度，進而判斷干燥工藝是否可以結(jié)束。

4.5 凍干產(chǎn)品的質(zhì)量分析

      4.5.1 殘余水分的測量                       

產(chǎn)品殘余水分的測量應(yīng)除去從周圍環(huán)境中吸收的水分。將干燥產(chǎn)品裝入其他容器時，或稱量的時候都應(yīng)該在充滿干燥氣體的箱子或隔離器中進行。

箱子應(yīng)該能容納P2O5，或可用干燥氣體清洗。在隔離器中進行的時候應(yīng)帶上固定在隔離器上的手套。干燥氣體中用來稱量的天平需要做一些調(diào)整以避免靜電荷，這有可能導(dǎo)致相當(dāng)大的錯誤。

      4.5.1.1 重量分析法                          

正如美國食品和藥品操作規(guī)范第21項610.13條中所說的，在前幾年，這種方法成為強制性的規(guī)范。被稱的樣品存儲在溫度在十20～十30℃之間的干燥室中，連同P2O5被反復(fù)稱量直到質(zhì)量不變?yōu)橹?。樣品的最小量?yīng)該大于100mg，若有必要可取自多個小瓶。較高的溫度可使達到質(zhì)量不變的時間縮短，但是會引起更多的結(jié)合水解吸甚至使產(chǎn)品變質(zhì)。利用這種方法，在+20～+30℃時，發(fā)現(xiàn)水很少被凝固到固體上。

      4.5.1.2 Karl Fischer(KF)法             

利用這種方法被稱量的干產(chǎn)品被溶解在甲醇中，用Karl Fischer溶液滴定直到顏色由棕色變?yōu)辄S色。視覺觀察可由電流計代替，當(dāng)?shù)味ńY(jié)束時，電流突然增加，這種方法樣品的重量可比重量分析法減小2一4倍。為了完全地避免視覺觀察產(chǎn)生的誤差，利用電解可產(chǎn)生碘，用庫侖定律計算水的含量，這種儀器（見圖4-45）

在商業(yè)上是可得到的。用這種方法可測得的水的最小量為l0μg。Wckx和DeKlejin說明了如何使Karl Fisher法被直接使用于小瓶裝的已干產(chǎn)品。Karl Fischer法不能直接用于在Karl Fischer試劑中能和碘起反應(yīng)或不能溶于甲醇或水分無法被甲醇吸取的產(chǎn)品。Karl Fischer儀器如圖4-46所示。

 2.2.3微納尺度凍干過程的傳熱傳質(zhì)

以往的研究大都是研究宏觀參數(shù)，如壓力、溫度和物料的宏觀尺寸等對凍干過程熱傳遞的影響，物料微觀結(jié)構(gòu)的影響忽略不計或被簡化，因此，只是對于均質(zhì)的液態(tài)物料和結(jié)構(gòu)單一固態(tài)物料比較適用。對于一般生物材料,凍干過程已干層多孔介質(zhì)實際上不是均勻的，而是具有分形的特點。然而分形多孔介質(zhì)中的擴散已不再滿足歐式空間的Fick定律，擴散速率較歐式空間減慢了，擴散系數(shù)不是常數(shù)，與擴散距離還有關(guān)。已干層分形特征如何確定，以及怎么影響凍干過程熱質(zhì)傳遞，都是有待研究的問題。

從考慮生物材料的微觀結(jié)構(gòu)出發(fā)，根據(jù)已干層的顯微照片分析生物材料已干層多孔介質(zhì)的分形特性，確定已干層多孔介質(zhì)的分形維數(shù)和譜維數(shù)，推導(dǎo)分形多孔介質(zhì)中氣體擴散方程，然后在1998年Sheehan和Liapis提出的非穩(wěn)態(tài)軸對稱模型的基礎(chǔ)上建立了考慮了已干層的分形特點的生物材料凍干過程熱質(zhì)傳遞的模型，即惰性氣體和水蒸氣在已干層中的連續(xù)方程采用的是分形多孔介質(zhì)中的擴散方程，擴散系數(shù)隨已干層厚度的增加呈指數(shù)下降。為了驗證模型的正確性，以螺旋藻為研究對象，用Jacquin等的方法根據(jù)螺旋藻已干層的顯微照片確定螺旋藻已干層分形維數(shù)，用張東暉等人的方法求分形多孔介質(zhì)的譜維數(shù)。模型的求解借助Matlab和Fluent軟件，模擬了螺旋藻的凍干過程。

  2.2.3.1分型多孔介質(zhì)中氣體擴散方程的推導(dǎo)

通常流體的擴散滿足Fick定律，固相中的擴散也常常沿襲流體擴散過程的處理方法。如果氣體的分子直徑自由程遠大于微孔直徑，則分子對孔壁的碰撞要比分子之間的相互碰撞頻繁得多。其微孔內(nèi)的擴散阻力主要來自分子對孔壁的碰撞，這就是克努森擴散，傳統(tǒng)的凍干模型已干層中水蒸氣和惰性氣體的擴散都是按傳統(tǒng)的歐氏空間的克努森擴散處理的，但對于生物材料已干層中的孔隙一般都具有分形的特征，使氣體在其中的擴散也具有分形的特點，下面從確定已干層分形特征入手，來推導(dǎo)已干層分形多孔介質(zhì)中的氣體擴散方程。

  2.2.3.2已干層多孔介質(zhì)結(jié)構(gòu)特性

生物材料凍干過程已干層多孔介質(zhì)的結(jié)構(gòu)特性是影響凍干過程傳熱傳質(zhì)的很重要的一個因素。當(dāng)孔隙具有分形特點時, 多孔介質(zhì)中的熱質(zhì)傳遞不僅與為孔隙率有關(guān), 還與孔隙的大小和排列有關(guān)，與孔隙的分形維數(shù)和譜維數(shù)有關(guān)。

（1）孔隙率的確定  與計算機所產(chǎn)生的圖像不同，實驗圖噪聲比較大，不便于直接利用軟件對圖像進行數(shù)字處理。在分析圖像之前，需要恰當(dāng)?shù)靥幚韴D像，目的就是減少噪聲，使圖像主要信息表達更加清楚。利用 Matlab 圖像處理把彩色圖像轉(zhuǎn)換為黑白圖像（二值圖)時，要給出黑與白的分界值， 即像素的顏色閾值，低于閾值的像素定義為白色，代表孔隙，否則為黑色，代表固體物料。轉(zhuǎn)化工具為Mat-lab的im2bw命令。

圖2-18為螺旋藻已干層顯微照片，當(dāng)顏色閾值取0.35時，圖2-18對應(yīng)的二值圖如圖2-19所示，考慮到在顯微鏡下觀測螺旋藻已干層結(jié)構(gòu)時有一定的厚度，固體物料有重疊，為了使處理的圖像更接近實際結(jié)構(gòu)，這里閾值取偏小值0.35。在Matlab中二值圖是用1和0的邏輯矩陣存儲的，0為黑, 1為白，且很容易對矩陣進行各種運算。通過統(tǒng)計矩 0和1的數(shù)可得螺旋藻已干層孔隙率為0.83。

 (2)分形維數(shù)的確定   多孔介質(zhì)孔隙分形維數(shù)的計算用常規(guī)的盒子法，即用等分的正方形網(wǎng)格覆蓋所讀人的圖像，網(wǎng)格單元的尺度為r。然后檢測每個網(wǎng)格單元中0和1的值，統(tǒng)計標(biāo)記為1的單元數(shù)N(r)。N(r)和1/r分別取成對數(shù)后，在以lnN(r)為Y軸坐標(biāo)，以In(l/r)為X軸的坐標(biāo)上產(chǎn)生一個點，從兩個像素開始，以一個像素為步長逐步增加，對應(yīng)每一個r值，重復(fù)上述過程，得到一系列這樣的點，再根據(jù)這些點擬合成一直線，其斜率即為分形維數(shù)。為了減小計算量，取圖2-18—小部分進行計算,選中的小圖對應(yīng)的二值圖2-19所示。按這種方法計算的圖2-20的所示多孔介質(zhì)的分形維數(shù)的結(jié)果見圖2-21,圖中離散點用上述方法得到, 計算中,覆蓋網(wǎng)格分別取5X5～14X14?；貧w直線方程為

相關(guān)系數(shù)為0.99628，其斜率即孔隙分形維數(shù)df= l. 722。

(3)譜維數(shù)的確定 Anderson等通過分形網(wǎng)格的模擬，得到時間t內(nèi)，物質(zhì)粒子所訪問過的不同格子數(shù)Din(t)與譜維數(shù)d存在下述關(guān)系：

 根據(jù)此式，就可以計算得到分形結(jié)構(gòu)的譜維數(shù)d。具體過程為從分形結(jié)構(gòu)中某一孔隙格子處發(fā)出一個物質(zhì)粒子，物質(zhì)粒子在分形結(jié)構(gòu)中的孔隙中各自隨機行走，計算時采用近似的螞蟻行走模型。如果行走到的格子以前沒有訪問過，那么就在獨立訪問過的格子數(shù)總和中加1[Din(t)=Din(t)+1]; 如果行走到的格子以前訪問過，那么就在訪問過的格子數(shù)總和中加 1(Null=Null+1)；如果行走碰到分形結(jié)構(gòu)的邊界，那么行走終止，再在上面初始處發(fā)出一個物質(zhì)粒子，由于是隨機行走，此粒子的行走軌跡與剛才是不同的，最后對某時刻Din(t)求平均值，得到一組[Din(t),t]對應(yīng)值，取對數(shù)坐標(biāo)，可以看到兩者是直線關(guān)系，由式(2-91)可知，直線的斜率就是d/2。譜維數(shù)與孔隙分形維數(shù)有很大關(guān)聯(lián)，孔隙分形維數(shù)越小，意味著分形結(jié)構(gòu)中孔隙的比例少，相同時間內(nèi)，粒子行走越狹窄，重復(fù)過的彎路越多，其所經(jīng)過的不同格子數(shù)越少，那么譜維數(shù)也就相應(yīng)小一些。對于孔隙分形維數(shù)相同的分形結(jié)構(gòu)，如果孔隙分布排列不一樣，兩者之間的譜維數(shù)值一定也會有差別。

從圖2-20分形多孔介質(zhì)中孔隙部分任取一點，依次發(fā)出1000個物質(zhì)粒子，覆蓋網(wǎng)格重40x40,由上面的測定方法統(tǒng)計計算的結(jié)果見圖2-22中的離散點，回歸直線方程為：

直線斜率為0.67405，從而可得孔隙的譜維數(shù)d=1.348。

 2.2.3.3分型多孔介質(zhì)中的擴散系數(shù)

擴散系數(shù)的實質(zhì)是單位時間粒子所傳輸?shù)目臻g，在普通擴散過程中，隨機行走的平均平方距離與時間成正比的關(guān)系：

式中，為隨機行走的平均平方距離。在分形多孔介質(zhì)中，由張東暉等人的研究可知，平均平方距離和時間存在指數(shù)關(guān)系，

α被稱為與分形布朗運動相關(guān)聯(lián)的行走維數(shù)，Orbach等發(fā)現(xiàn)

由此也可看到：譜維數(shù)是分形介質(zhì)靜態(tài)結(jié)構(gòu)和動態(tài)特性的一個中間橋梁。

在處理具有分形特征介質(zhì)的擴散系數(shù)時，一般都是在普通的擴散系數(shù)上加上分形特征的修正，由張東暉等人的模擬結(jié)果可知，分形多孔介質(zhì)中的擴散系數(shù)已不是常數(shù)，而是隨徑向距離的增大而呈指數(shù)下降：

式中，D。為歐氏空間的擴散系數(shù)；Ddf為分形結(jié)構(gòu)中的擴散系數(shù)；r為擴散的距離；θ為分形指數(shù)，與多孔介質(zhì)分形維數(shù)df和譜維數(shù)d有關(guān)，由張東暉等人的推導(dǎo)可知θ=2(df-d)/d。這實際表明：在分形結(jié)構(gòu)中隨著擴散徑向距離的增大，擴散變得越來越困難，這是由于分形結(jié)構(gòu)孔隙分布的不均勻性造成的。