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  花花的小花兒 2014-08-14 00:00:00

  如圖，直線AC∥BD，連接AB，直線AC，BD及線段AB把平面分成①、②、③、④四個(gè)部分，規(guī)定：線上各點(diǎn)不屬于任何部分．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在某個(gè)部分時(shí)，連接PA，PB，構(gòu)成∠PAC，∠APB，∠PBD三個(gè)角．（提示：有公共端點(diǎn)的兩條重合的射線所組成的角是0°角） （1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第①部分時(shí)，求證：∠APB=∠PAC+∠PBD； （2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第②部分時(shí)，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立） （3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在第③部分時(shí)，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關(guān)系，并寫出動(dòng)點(diǎn)P的具體位置和相應(yīng)的結(jié)論．選擇其中一種結(jié)論加以證明． ---- 分析：（1）如圖1延長BP交直線AC于點(diǎn)E，由AC∥BD，可知∠PEA=∠PBD．由∠APB=∠PAE+∠PEA，可知∠APB=∠PAC+∠PBD； （2）過點(diǎn)P作AC的平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答； （3）根據(jù)P的不同位置，分三種情況討論． 解答：解：（1）解法一：如圖1延長BP交直線AC于點(diǎn)E． ∵AC∥BD，∴∠PEA=∠PBD． ∵∠APB=∠PAE+∠PEA， ∴∠APB=∠PAC+∠PBD； 解法二：如圖2 過點(diǎn)P作FP∥AC， ∴∠PAC=∠APF． ∵AC∥BD，∴FP∥BD． ∴∠FPB=∠PBD． ∴∠APB=∠APF+∠FPB =∠PAC+∠PBD； 解法三：如圖3， ∵AC∥BD， ∴∠CAB+∠ABD=180°， ∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD=180°． 又∠APB+∠PBA+∠PAB=180°， ∴∠APB=∠PAC+∠PBD． （2）不成立． （3）（a） 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在射線BA的右側(cè)時(shí)，結(jié)論是 ∠PBD=∠PAC+∠APB． （b）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在射線BA上， 結(jié)論是∠PBD=∠PAC+∠APB． 或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°， ∠PAC=∠PBD（任寫一個(gè)即可）． （c）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在射線BA的左側(cè)時(shí)， 結(jié)論是∠PAC=∠APB+∠PBD． 選擇（a）證明： 如圖4，連接PA，連接PB交AC于M． ∵AC∥BD， ∴∠PMC=∠PBD． 又∵∠PMC=∠PAM+∠APM（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）， ∴∠PBD=∠PAC+∠APB． 選擇（b）證明：如圖5 ∵點(diǎn)P在射線BA上，∴∠APB=0度． ∵AC∥BD，∴∠PBD=∠PAC． ∴∠PBD=∠PAC+∠APB 或∠PAC=∠PBD+∠APB 或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD． 選擇（c）證明： 如圖6，連接PA，連接PB交AC于F ∵AC∥BD，∴∠PFA=∠PBD． ∵∠PAC=∠APF+∠PFA， ∴∠PAC=∠APB+∠PBD．

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