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  gohaha1745 2012-04-19 00:00:00

  我們用一個(gè)包括五個(gè)DMU（公司）的簡單例子闡述規(guī)模報(bào)酬不變投入主導(dǎo)型的數(shù)據(jù)包絡(luò)分析。每個(gè)DMU都是兩投入一產(chǎn)出，數(shù)據(jù)如下： 表 1規(guī)模報(bào)酬不變的DEA例子數(shù)據(jù) 這個(gè)例子的投入產(chǎn)出比率在數(shù)據(jù)6中繪出，同時(shí)還匯出了DEA的同等式12對應(yīng)的前沿。我們可以記在心里，然而，這個(gè)DEA前沿是對5個(gè)DMU每個(gè)都計(jì)算一次線性規(guī)劃的結(jié)果。例如，對于DMU3我們可以這樣重新書寫等式12. minθ，λθ， st -y3+(y1λ1+y2λ2+y3λ3+y4λ4+y5λ5)≥0， θx13-(x11λ1+x12λ2+x13λ3+x14λ4+x15λ5)≥0， θx23-(x21λ1+x22λ2+x23λ3+x24λ4+x25λ5)≥0， λ≥0， （14） whereλ=(λ1，λ2，λ3，λ4，λ5)′. θ和λ的值在表2第三行中提供了Z小的θ值。我們注意到DMU3的技術(shù)效率值是0.833。DMU3可以在不減少產(chǎn)出的情況下將投入降低16.7%。這就意味著應(yīng)該在數(shù)據(jù)6的 3’點(diǎn)生產(chǎn)。這個(gè)估計(jì)點(diǎn)3’在DMU2和DMU5的連線上，它被認(rèn)為是點(diǎn)3的對應(yīng)點(diǎn)。他們定義了前沿相關(guān)部分的所在（例如與DMU3相關(guān)的）也就定義了DMU3的效率生產(chǎn)點(diǎn)。點(diǎn)3’是點(diǎn)2和點(diǎn)5的線性組合，線性組合的權(quán)重就是表2第三行的λ值。 數(shù)據(jù) 6 規(guī)模報(bào)酬不變投入主導(dǎo)型DEA例子 表2 規(guī)模報(bào)酬不變投入主導(dǎo)型DEA的結(jié)果 很多研究都討論目標(biāo)和對應(yīng)點(diǎn)。DMU的目標(biāo)也就是對應(yīng)的效率投影點(diǎn)3’。這等于0.833×(2，2)= (1.666，1.666)。因此，DMU3要得到3單元的產(chǎn)出就得要用3×(1.666，1.666)=(5，5)單元的兩種投入 人們可以對其他各個(gè)無效率的DMU進(jìn)行類似的討論。DMU4的效率指數(shù)是0.714，同DMU3一樣有類似的對應(yīng)點(diǎn)。DMU1的效率指數(shù)是0.5，DMU2就是他的效率的對應(yīng)點(diǎn)。我們可以注意到，DMU1的估計(jì)點(diǎn)在效率部分的上端，這個(gè)效率部分平行于x2的軸。因此，它不代表效率點(diǎn)（根據(jù)Koopman的定義。）因?yàn)槲覀兛梢詼p低投入x2的0.5個(gè)單位（因此生產(chǎn)點(diǎn)就在點(diǎn)2）仍舊能得到相同數(shù)量的產(chǎn)出。因此DMU1可以說為投入放射性浪費(fèi)了50%，并且有0.5單元的x2的（非放射性）投入松弛變量。這就導(dǎo)致了目標(biāo)(x1=1，x2=2)。那就是相對應(yīng)的點(diǎn)2. 3.2 The Variable Returns to Scale Model (VRS)and Scale Efficiencies 規(guī)模收益變化模型（VRS）和規(guī)模效率 CRS的假設(shè)僅僅在所有的DMU都在Z優(yōu)的規(guī)模上運(yùn)作的時(shí)候才合適（例如：LRAC曲線上的一個(gè)相應(yīng)的平面部分）。不完全競爭和約束，財(cái)務(wù)等等，可能導(dǎo)致DMU不在Z合適的規(guī)模上運(yùn)作。Banker，Charnes and Cooper(1984)拓展了規(guī)模報(bào)酬不變的DEA模型為規(guī)模報(bào)酬變化的情形。當(dāng)DMU沒有在Z優(yōu)的規(guī)模上運(yùn)作的時(shí)候，CRS說明書的使用可能會導(dǎo)致技術(shù)效率的測度被規(guī)模效率所混淆。VRS模型說明書將會允許剔除規(guī)模效率影響的技術(shù)效率的計(jì)算。 CRS線性規(guī)劃模型可以通過增加凸性約束很容易的修改成VRS模型。對等式12增加的凸性約束為：N1’λ=1 可以得到， minθ，λθ， st -yi+Yλ≥0， θxi-Xλ≥0， N1’λ=1 λ≥0， （15） N1是所有的N×1的矩陣。這種方法形成了一個(gè)凸面，他能夠比CRS的圓錐形的面更緊密的包絡(luò)所有的數(shù)據(jù)，因此獲得的技術(shù)效率比使用CRS模型獲得的技術(shù)效率高或者是相等的。VRS規(guī)說明書是20世紀(jì)Z受歡迎的說明書。 Calculation of Scale Efficiencies 規(guī)模效率的計(jì)算 許多研究把從CRS模型獲得的技術(shù)效率分解成了兩部分，一部分是因?yàn)橐?guī)模無效率，一部分是因?yàn)榧兗夹g(shù)無效。這可以在相同的數(shù)據(jù)上通過實(shí)施CRS和VRS兩個(gè)DEA模型來做到。如果對于一個(gè)特定的DMU，兩個(gè)技術(shù)效率不同，這就證明這個(gè)DMU存在規(guī)模無效。規(guī)模無效可以通過VRS的技術(shù)效率和CRS的技術(shù)效率的不同來計(jì)算。 數(shù)據(jù)7試圖闡述這一問題。在這個(gè)數(shù)據(jù)里面我們有一投入一產(chǎn)出的例子，并且我們畫出了VRS和CRS的效率前沿。在CRS的投入主導(dǎo)型技術(shù)無效里，P點(diǎn)的距離是PPC，而在VRS模型里技術(shù)無效是PPV。兩者的不同PCPV，就是規(guī)模無效率。我們可以用比率效率測度來表示這些。 TEI，CRS=APC/AP TEI，VRS=APV/AP SEI=APC/APV 所有的這些測度都在0~1之間。我們也可以注意到， TEI，CRS=TEI，VRS×SEI 因?yàn)?APC/AP=(APV/AP)×(APC/APV). 這就是CRS的技術(shù)效率可以分解稱純技術(shù)效率和規(guī)模效率。 數(shù)據(jù) 7 DEA中規(guī)模經(jīng)濟(jì)的計(jì)算 規(guī)模效率方法的一個(gè)缺點(diǎn)就是他的值不能反映DMU是否運(yùn)行在規(guī)模報(bào)酬遞增或者規(guī)模報(bào)酬遞減的領(lǐng)域里。這可以通過運(yùn)行一個(gè)非規(guī)模報(bào)酬遞增（NIRS）的額外的DEA模型來確定。這可以通過改變等式15的DEA模型來做到，將等式15的N1’λ=1的限制替換成N1’λ≤1可以得到 minθ，λθ， st -yi+Yλ≥0， θxi-Xλ≥0， N1’λ≤1 λ≥0， （16） NIRS DEA前沿在數(shù)據(jù)7中繪出。一個(gè)DMU的規(guī)模無效率（例如：由于規(guī)模遞增或者規(guī)模遞減）的類型可以通過看NIRS的技術(shù)效率值與VRS的技術(shù)效率值是否一致確定。如果不相等（就是數(shù)據(jù)7點(diǎn)P 的例子），那么這個(gè)DMU就存在規(guī)模報(bào)酬遞增。如果他們相等（就是數(shù)據(jù)7點(diǎn)Q的例子），規(guī)模報(bào)酬遞減適用。An example of this approach applied to international airlines is provided in BIE(1994). BIE(1994)提供的國際航線的例子適用于這個(gè)方法。 Example 2例子2 這是一個(gè)簡單的包括5個(gè)公司的例子，每個(gè)公司都用一種單一的投入生產(chǎn)單一的產(chǎn)品。數(shù)據(jù)在表3中列出，VRS和CRS投入主導(dǎo)型DEA模型的結(jié)果在表4中列出，在數(shù)據(jù)8中畫出。假設(shè)我們使用投入主導(dǎo)型，效率通過數(shù)據(jù)8可以水平的測出。當(dāng)我們假設(shè)是規(guī)模報(bào)酬不變的時(shí)候，我們觀測到公司3是唯yi的有效率的公司（在DEA的效率前沿上），但是當(dāng)我們假設(shè)規(guī)模報(bào)酬變化的時(shí)候，公司1，3，5都是有效的。 不同的效率方法的計(jì)算可以通過使用公司2來展示，因?yàn)楣?在CRS和VRS兩種模型下技術(shù)效率都是無效的。 CRS的技術(shù)效率等于2/4=0.5，VRS的技術(shù)效率是2.5/4=0.625，規(guī)模效率等于CRS的技術(shù)效率和VRS的技術(shù)效率的比率，那就是0.5/0.625=0.8。我們也可以觀察到，公司2在VRS的效率前沿的規(guī)模報(bào)酬遞增階段。 表 3 規(guī)模報(bào)酬變化的DEA模型的例子數(shù)據(jù) 表 4 VRS投入主導(dǎo)型DEA的結(jié)果 數(shù)據(jù)8 VRS投入主導(dǎo)型DEA例子 3.3 Input and Output Orientations 投入和產(chǎn)出主導(dǎo)型 在上面的投入主導(dǎo)型模型里面，我們在3.1和3.2部分討論過的，這個(gè)模型試圖把技術(shù)無效定義為按比例降低浪費(fèi)的投入。這相當(dāng)于Farrell基于投入方法計(jì)算的技術(shù)無效。正如在2.2部分所討論的，我們也可能把技術(shù)無效作為按比例的增加產(chǎn)出來計(jì)算。在規(guī)模報(bào)酬不變的情況下兩種方法的值是相同的，但是當(dāng)規(guī)模報(bào)酬變化的時(shí)候就是不相同的（見數(shù)據(jù)3）。假設(shè)線性規(guī)劃模型不會受到聯(lián)立方程偏見這樣的統(tǒng)計(jì)問題。合適方向的選擇不會像計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的估計(jì)例子那樣至關(guān)重要。在很多的研究中，分析都傾向于投入主導(dǎo)型模型，因?yàn)楹芏嗟腄MU有特別的命令需要滿足（比如發(fā)電）。因此投入的數(shù)量看起來是主要決定的變量，盡管這個(gè)論點(diǎn)可能不是在所有的工業(yè)中都是強(qiáng)烈的。在一些工業(yè)中，DMU可能給定了固定數(shù)量的資源，被要求生產(chǎn)盡可能多的產(chǎn)出。在這種情況下，產(chǎn)出主導(dǎo)型就是比較合適的。必要的是我們選擇方向的根據(jù)是那些數(shù)量是管理者能Z大限度的控制的。進(jìn)一步講，在很多情況下，你會發(fā)現(xiàn)方向的選擇會對得到的數(shù)據(jù)產(chǎn)生微弱的影響。(e.g.see Coelli and Perelman 1996). 產(chǎn)出主導(dǎo)型的模型和投入主導(dǎo)型的模型非常的相似?？紤]下面的產(chǎn)出主導(dǎo)型的VRS模型的例子。 maxφ，λφ， st -φyi+Yλ≥0， xi-Xλ≥0， N1’λ=1 λ≥0， （17） 其中1≤φ<∞，φ-1就是第i個(gè)DMU在保持投入數(shù)量不變的前提下，產(chǎn)出所能增加的比例。注意，φ-1定義了在0~1之間變動的技術(shù)效率指數(shù)（這就是DEAP軟件得出的產(chǎn)出主導(dǎo)型的技術(shù)效率）一個(gè)產(chǎn)出主導(dǎo)型的DEA的兩個(gè)產(chǎn)出的例子，可以由一個(gè)分段線性產(chǎn)出可能曲線代表，正如數(shù)據(jù)8所展示的那樣。 注意，觀測點(diǎn)在曲線的下方，曲線的一部分和坐標(biāo)軸成直角，當(dāng)生產(chǎn)點(diǎn)通過輻射狀的膨脹產(chǎn)出線投影到這部分曲線時(shí)，就要計(jì)算產(chǎn)出的松弛變量。 例如點(diǎn)P 投影到點(diǎn)P’點(diǎn)，P’點(diǎn)在前沿，但是卻不是效率前沿上，因?yàn)樵诓辉黾尤魏萎a(chǎn)出的情況下，產(chǎn)品Y1可以通過AP’增加產(chǎn)量。AP’就是產(chǎn)出y1的產(chǎn)出松弛變量。 有一點(diǎn)需要強(qiáng)調(diào)，那就是產(chǎn)出主導(dǎo)型和投入主導(dǎo)型模型將會通過定義準(zhǔn)確的估計(jì)相同的前沿，，識別出同一個(gè)DMU作為Z有效率的。對于無效率的DMU的效率測度方法在兩個(gè)方法可能是不同的。兩種方法我們將在數(shù)據(jù)3的第二部分展示，在那我們能觀察到僅當(dāng)規(guī)模收益不變時(shí)兩者才能提供相同的效率值。 數(shù)據(jù) 8 產(chǎn)主導(dǎo)型的DEA 3.4 Price Information and Allocative Efficiency 價(jià)格信息和配置效率 如果我們有價(jià)格的信息，我們就會考慮行為目標(biāo)，比如成本Z小或者產(chǎn)出Z大，這樣我們就既可以測度技術(shù)效率又可以測度配置效率了。對于VRS的成本Z小化的例子，我們將使用等式15包含的投入主導(dǎo)型的DEA模型來計(jì)算技術(shù)效率。我們?nèi)缓筮\(yùn)行下面的成本Z小化的DEA模型。 minλ，xi* wi’xi*， st -yi+Yλ≥0， xi*-Xλ≥0， N1’λ=1 λ≥0， （23） 其中wi是第i個(gè)DMU的投入價(jià)格矩陣，xi*（由線性規(guī)劃模型計(jì)算出）是在給定的投入價(jià)格wi和產(chǎn)出水平y(tǒng)i的情況下，能使第i個(gè)DMU達(dá)到成本Z小化的投入數(shù)量?？偟牡趇個(gè)DMU的成本效率或者是經(jīng)濟(jì)效率就可以這樣計(jì)算 CE=wi’xi*/wi’xi。 那就是用成本Z小的比例觀測成本。我們?nèi)缓罂梢赃\(yùn)用等式4去計(jì)算配置效率殘余，為 AE=CE/TE。 注意，這種計(jì)算方法不會對配置效率的測度產(chǎn)生任何松弛變量。這在松弛變量反映不合適投入比例的背景下總是合理的。 我們也注意到我們也可以用同樣的方式考慮產(chǎn)出混合選擇的收入Z大化和配置無效率。詳見Lovell(1993，p33)對此的討論。要注意這個(gè)收益效率模型在DEAP里面不能實(shí)施 Example 3 例子3 在這個(gè)例子里面我們使用例子1里面的數(shù)據(jù)，并增加信息，就是所有的公司投入1和投入2的價(jià)格分別都是1和3.因此我們在數(shù)據(jù)6上畫一條斜率為-1/3的成本曲線，他在數(shù)據(jù)9上與等產(chǎn)量曲線相切。從表中我們可以看到公司5是唯yi成本有效率的公司，并且所有的其他公司在某種程度上都存在配置無效率。各種不同的成本效率和配置效率都在表5中列出了。這些效率的計(jì)算可以用公司3來展示。我們早就發(fā)現(xiàn)公司3的技術(shù)效率是通過從原點(diǎn)（O）到3的射線計(jì)算的，他的比率就是0到點(diǎn)3’的距離比上0到點(diǎn)3的距離，等于0.833。配置效率就是0到3’’的距離比上0到3’的距離為0.9。成本效率就是0到3’’的距離比上0到3的距離為0.75。我們也可以這樣計(jì)算0.833×0.9=0.750。 數(shù)據(jù)9 CRS成本效率DEA例子 表 5 CRS成本效率DEA的結(jié)果 3.5 Panel Data，DEA and the Malmquist Index 面板數(shù)據(jù)，DEA和Malmquist指數(shù) 當(dāng)我們有面板數(shù)據(jù)的時(shí)候，我們就可以使用類似DEA的線性規(guī)劃和一個(gè)（基于投入或者產(chǎn)出）Malmquist TFP指數(shù)來測度生產(chǎn)力的變化，并把生產(chǎn)力的變化分解成技術(shù)進(jìn)步和技術(shù)效率的變化。 Fare et al(1994)定義了一個(gè)基于產(chǎn)出的Malmquist生產(chǎn)力指數(shù)如下： 它代表和生產(chǎn)點(diǎn)(xt，yt)相比較的生產(chǎn)點(diǎn)(xt+1，yt+1)的生產(chǎn)力。比1大的值代表從t到t+1時(shí)期的一個(gè)正的TFP增長。事實(shí)上，這個(gè)指數(shù)就是兩個(gè)基于產(chǎn)出的Malmquist TFP指數(shù)的等比中項(xiàng)。一個(gè)指數(shù)使用t時(shí)期的技術(shù)和另一個(gè)時(shí)期t+1的技術(shù)指數(shù)。為了計(jì)算等式24，我們必須計(jì)算有四個(gè)部分的函數(shù)，他包含四個(gè)線性規(guī)劃（他們的構(gòu)造類似于計(jì)算Farrell的技術(shù)效率的方法。）的問題。 我們假設(shè)規(guī)模報(bào)酬不變（我們之后會進(jìn)一步的分解來觀察規(guī)模效率的問題） 用于計(jì)算d0t(xt，yt)的CRS產(chǎn)出主導(dǎo)的線性規(guī)劃等同于等式17，不同的是VRS的限制被移除，卻包含時(shí)間下標(biāo)。就是 [d0t(xt，yt)]-1 =maxφ，λφ， St -φyit+Ytλ≥0， xit-Xtλ≥0， λ≥0， （25） 其他三個(gè)線性規(guī)劃問題就是這個(gè)的簡單變體： [d0t+1(xt+1，yt+1)]-1=maxφ，λφ， St -φyi，t+1+Yt+1λ≥0， xi，t+1-Xt+1λ≥0， λ≥0， （26） [d0t(xt+1，yt+1)]-1=maxφ，λφ， St -φyi，t+1+Ytλ≥0， xi，t+1-Xtλ≥0， λ≥0， （27） [d0t+1(xt，yt)]-1=maxφ，λφ， st -φyit+Yt+1λ≥0， xit-Xt+1λ≥0， λ≥0， （28） 注意線性規(guī)劃模型27和28，生產(chǎn)點(diǎn)的技術(shù)是不同時(shí)期進(jìn)行對比的，φ參數(shù)如同計(jì)算Farrell效率一樣需要≥1。點(diǎn)可能在可行的生產(chǎn)組合上方。這種情況Z可能在線性規(guī)劃27中，當(dāng)t+1時(shí)期的生產(chǎn)點(diǎn)和t時(shí)期的生產(chǎn)點(diǎn)的技術(shù)進(jìn)行對比時(shí)發(fā)生。如果技術(shù)進(jìn)步發(fā)生了，φ<1的值就是可能的。注意如果發(fā)生技術(shù)退步，這種情況也可能在線性規(guī)劃28里面發(fā)生，但是技術(shù)退步發(fā)生的可能性很小。 我們要記住點(diǎn)φ和λ，因?yàn)樗麄冊谒膫€(gè)線性規(guī)劃里面的值可能是不同的。 進(jìn)一步，上述四個(gè)線性規(guī)劃必須對樣本中的每個(gè)公司都進(jìn)行計(jì)算。因此，如果你有20個(gè)公司，兩個(gè)階段，你就要進(jìn)行80個(gè)線性規(guī)劃的運(yùn)算。也要注意到，當(dāng)你增加了額外的時(shí)間，你必須對每個(gè)公司計(jì)算額外的三個(gè)線性規(guī)劃（去構(gòu)造一個(gè)環(huán)比指數(shù)）。如果你有T個(gè)時(shí)間，你必須對每個(gè)樣本公司計(jì)算(3T-2)個(gè)線性規(guī)劃。 因此，如果你有N個(gè)公司，你就必須計(jì)算N×(3T-2)個(gè)線性規(guī)劃。例如，當(dāng)N=10個(gè)公司，T=10個(gè)時(shí)間，這就要計(jì)算20×(3×10-2)=560個(gè)線性規(guī)劃。 每個(gè)公司對于每個(gè)相鄰的時(shí)間的結(jié)果可以列成表?；蛘呖梢蕴岢龊喴目缭綍r(shí)間或者空間的措施。 Scale Efficiency 規(guī)模效率 上面的方法可以進(jìn)行延伸，我們把（CRS）技術(shù)效率分解為規(guī)模效率和純（VRS）技術(shù)效率兩個(gè)部分。這就包括計(jì)算兩個(gè)額外的線性規(guī)劃（當(dāng)對比兩個(gè)生產(chǎn)點(diǎn)的時(shí)候）這包括重復(fù)計(jì)算包含了凸性限制(N1’λ=1)的線性規(guī)劃25和26.這就是我們要計(jì)算VRS（而不是CRS）的效率函數(shù)技術(shù)效率。然后我們可以利用CRS和VRS的值計(jì)算規(guī)模效率殘值，使用3.2部分的方法。對于有N個(gè)公司和T個(gè)時(shí)間的情況，我們就要把線性規(guī)劃次數(shù)從N×(3T-2)增加到N×(4T-2)。詳見Fare et al(1994，p75)關(guān)于規(guī)模效率的更多論述。 Example 4 例子4 在這個(gè)例子里面我們使用例子2的數(shù)據(jù)。并額外的增加一年的數(shù)據(jù)。這個(gè)數(shù)據(jù)在表6中列出，也在數(shù)據(jù)9中描繪了。數(shù)據(jù)9中也畫出了兩個(gè)時(shí)間的CRS和VRS DEA模型的前沿。不同的距離（技術(shù)效率）需要我們計(jì)算Malmquist指數(shù)，Malmquist指數(shù)也在表5.4部分的表10c中列出了。 表 6 Malmquist DEA的例子數(shù)據(jù) 數(shù)據(jù) 8 VRS投入主導(dǎo)型的DEA例子

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  劉洪彬abc 2018-04-12 00:00:00

  DEA方法的特點(diǎn)： 適用于多輸出-多輸入的有效性綜合評價(jià)問題，在處理多輸出-多輸入的有效性評價(jià)方面具有優(yōu)勢。DEA方法并不直接對數(shù)據(jù)進(jìn)行綜合，因此決策單元的Z優(yōu)效率指標(biāo)與投入指標(biāo)值及產(chǎn)出指標(biāo)值的量綱選取無關(guān)，應(yīng)用DEA方法建立模型前無須對數(shù)據(jù)進(jìn)行無量綱化處理（當(dāng)然也可以）無須任何權(quán)重假設(shè)，而以決策單元輸入輸出的實(shí)際數(shù)據(jù)求得Z優(yōu)權(quán)重，排除了很多主觀因素，具有很強(qiáng)的客觀性。 DEA方法假定每個(gè)輸入都關(guān)聯(lián)到一個(gè)或者多個(gè)輸出，且輸入輸出之間確實(shí)存在某種聯(lián)系，但不必確定這種關(guān)系的顯示表達(dá)式。

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